Прошедшие в России выборы всколыхнули интерес к такому разделу математики, как теория вероятностей и математическая статистика. Наука эта довольно коварная: с одной стороны она оперирует понятиями прочно вошедшими в лексикон даже далёких от математики людей, некоторые приложения этой науки (например, азартные игры, лотереи, управление риском) довольно близки многим людям, даже неспециалистам. В то же время зачастую выводы этой науки противоречат бытовой "интуиции" и "здравому смыслу". Да и сами научные определения математических терминов теорвера не во всём совпадают с бытовыми представлениями. Это коварство науки нашло отражение в анекдотах про "вероятность встретить на улице динозавра" и в крылатых высказываниях про "ложь, наглую ложь и статистику". Конечно, статистические методы — это не разновидность лжи, но вот к различным интерпретациям статистики надо относиться очень осторожно. Чтобы понимать о чём идёт речь, крайне желательно ознакомиться с основными понятиями теории вероятностей, хотя бы по статьям в Википедии "вероятность", "случайная величина", "плотность распределения", "статистическая независимость" и др.

 

Как известно, ЦИК РФ уже не первые выборы публикует всю информацию о результатах подсчётов голосов на своих сайтах в Интернете. Информация предоставляется очень подробная, с точностью до отдельного УИК, любой желающий может её скачать и обработать в меру своих способностей. Впервые этим начали заниматься ещё на выборах в Госдуму 2007 года, и сразу же возникло сразу много вопросов к изберкомам. Исследователей смущало то, что количество голосов, отданных за партию власти не подчиняется т. н. "нормальному распределению" (или распределению Гаусса), а так же то, что процент голосов за ЕдРо на участках с высокой явкой оказывался выше, чем на участках с низкой. Г-н Чуров, глава ЦИК, ответил на все подобного рода обвинения в виде "типа научной" статьи, из которой следовало, что нормального распределения быть и не должно, и рост голосов за партию власти с ростом явки — дело нормальное. В 2011 году аналогичные обвинения продолжились, а к ним добавилось замечание того, что на "круглых" процентах отчётливо видны пики: участков, на которых ЕдРо получило 50, 55, 60, 65% заметно больше, чем участков с 51 или 67%. Тотчас нашлись защитники официальных результатов выборов в Госдуму. Все они как один уверяли, что не голосовали за ПЖиВ (Партия Жуликов и Врунов), и вообще они сторонники другой партии, но истина им дороже. То ли правда, то ли признаваться в симпатиях к ЕдРу уже стало неприлично — не известно. Я хоть и не защитник официальных результатов, но за ЕдРо тоже не голосовал. Как, впрочем, и за все остальные партии, но истина мне дороже ничуть не меньше.

 

Давайте разберёмся, что же это за нормальное распределение, какое оно имеет отношение к выборам, и когда оно может наблюдаться, а когда — нет. Нормальное (или гауссово) распределение — непрерывное, и определено на всей числовой прямой. То есть величина, подчиняющаяся этому распределению, может принимать сколь угодно большие и малые (в том числе — отрицательные), а так же — иррациональные значения. Так как процент голосов за любую партию, а так же явка на участках всегда принимают только рациональные значения от 0 до 100%, то нормальному распределению он подчиняться не может — говорят нам безымянные представители Чурова в этих наших интернетах. И так оно и есть. С другой стороны, эти случайные величины могут иметь распределение довольно близкое к нормальному. Характерной особенностью нормального распределения является то, что сумма любого количества независимых случайных величин, подчиняющихся этому распределению (с любыми параметрами) — тоже подчиняется нормальному распределению. И это ещё не всё. Существует Центральная Предельная Теорема (ЦПТ), утверждающая в самой простой формулировке, что у большого числа одинаково распределённых независимых случайных величин, среднее арифметическое имеет распределение, которое стремится к нормальному с ростом числа этих величин. Например, нормальная монета падает на каждую из сторон с вероятностью 50%. Если вы бросите монету 1000 раз и посчитаете количество "орлов", или процент "орлов" от общего числа бросков, то результат будет случайным и будет иметь распределение, весьма близкое к нормальному со средним значением равным 500 или 50%. В этом можно будет убедиться, проведя много серий по 1000 бросков. С ростом числа бросков в серии распределение числа "орлов" будет всё сильнее и сильнее приближаться к нормальному распределению. В более сильных вариантах ЦПТ утверждается, что случайные величины не обязаны иметь одинаковое распределение, важно только, чтобы они все давали примерно одинаковый вклад в среднее арифметическое. То же самое касается и их статистической независимости. Зависимость допустима, но не сильно большая. Наличие статистической зависимости приводит к тому, что среднее арифметическое сходится к нормальному распределению медленнее.

 

Рассмотрим простую модель выборов. Допустим, все избирательные участки имеют одно и то же количество зарегистрированных избирателей S и одно и то же количество сторонников партий, допущенных к голосованию — S*R_i для i-ой партии. Все сторонники определённой партии пойдут проголосовать с одной и той же вероятностью P_i, зависящей только от партии. Тогда количество голосов, отданных за i-ю партию на одном участке — это сумма S*R_i случайных величин, принимающих значение 1 с вероятностью P_i и 0 — с вероятностью 1-P_i. На выборах голоса всех людей у нас имеют равный вес, поэтому при большом числе сторонников этой партии на участках и статистической независимости явок на выборы отдельных людей, эта сумма будет иметь распределение близкое к нормальному. Почти нормальное распределение будет и у суммарной явки сторонников всех партий. Процент голосов, отданных за партию на участке — это отношение двух случайных величин, распределённых нормально (но статистически зависимых). Названия для распределения такой случайной величины не придумано, строго говоря оно не является нормальным, но тоже похоже на колокол. Непонятно откуда пошло, что результаты голосований обычно подчиняются логнормальному распределению (тоже колокол, но с удлинённой правой стороной), что якобы объясняет странный вид распределения голосов за ЕР. В подтверждение приводят исследование "британских учёных" и графики оттуда. Правда, от глаз фанатов чуровской магии ускользает один момент: в данной статье на гистограммах, которые иллюстрируют функцию плотности распределения, по горизонтали откладывают не процент голосов, полученных кандидатом, а... его логарифм.

 

Подставим в нашу модель конкретные числа. Пусть у нас есть 3000 УИК, в каждом зарегистрировано 2500 чел. Также пусть имеется всего три партии. На каждом участке у партии А 10% сторонников, Б — 20%, а у партии власти В — 70%. Но у первых двух партий избиратели дисциплинированные и ходят на выборы с вероятностью 80 и 95% соответственно, а сторонники партии власти хоть и более многочисленные, но на выборы ходят редко, с вероятностью 30%. Несложно посчитать, что в таком случае в среднем партия А будет получать 16,7% голосов, партия Б — 39,6%, а партия В — 43,7%. Средняя явка составит 48%. Гистограммы распределения голосов за партии, а так же явки — оказываются очень похожи на нормальное распределение:

А если мы посмотрим как зависит количество голосов, полученное партиями на участке от явки, то увидим уже знакомую зависимость: на участках с высокой явкой процент проголосовавших за "партию власти" (синий цвет) выше, а процет голосов за остальные партии с ростой явки почти не меняется.

Но подобная картина будет наблюдаться только в том случае, если "электоральные предпочтения" на всех участках одни и те же. И если избиратели принимают решения о выборе сравнительно независимо друг от друга (грубо говоря, не голосуют "хором" за того, за кого приказал товарищ начальник, или договорились в студенческом форуме). В действительности же, Россия — страна большая, в разных регионах разные условия и отношения людей к партиям — тоже разное. Вот что пишет о факторах, влияющих на выбор граждан в своей антиразоблачительной статье г-н Чуров:

Всё это, действительно, так. И если мы будем рассматривать большие группы участков с примерно одинаковыми условиями, то на каждой отдельной группе мы будем наблюдать распределения голосов и явки, близкие к нормальным. Однако распределения голосов по всей стране будут иметь более сложный вид смеси нескольких нормальных распределений. Вот что на этот счёт пишет г-н Чуров:

То есть, если мы откинем участки с особой электоральной культурой (которые по утверждению Чурова невелики) — воинские части, суда и т. д., и выделим однородные подмножества УИК, то распределения голосов и явки на каждом подмножестве должны быть похожи на нормальное.

 

О всей Российской Федерации мне судить весьма сложно. Половину своей жизни я прожил в Москве, а, например, в Чечне или Дагестане вообще ни разу не был. Вполне возможно, что в Чечне и в самом деле все сепаратисты мокнут в сортирах, а добропорядочные граждане уже давно мечтают не о независимой Ичкерии, а о России. Причём, исключительно о Единой. Москва — регион большой, но в политическом отношении однородный. Всю её практически на 100% контролирует партия ЕР, которая во всех районах проводит примерно одинаковую политику. Бюджет Москвы общий, на всей территории города единые тарифы на услуги ЖКХ и транспорт, во всех районах одни и те же надбавки к пенсиям, фактически единый рынок рабочей силы. Оппозиционные партии во всех районах действуют (или бездействуют) примерно одинаково интенсивно. Предвыборная кампания на территории всего города проводилась примерно одинаково. В общем, нет никаких оснований считать, что партия власти и оппозиция в каких-то районах Москвы могли оказаться "симпатичнее", чем в других районах. Однако, беглый взгляд на данные ЦИК по Москве показывают, что в городе есть обычные (без особой "электоральной культуры") участки с сильно отличающимися результатами голосования: на одних ЕР уверенно занимает первое место, а на других — заметно отстаёт от лидера, КПРФ, или идёт ноздря в ноздрю. Также заметно, что на участках, где ЕР уверенно лидирует, партия "Яблоко" получает микроскопическое количество голосов (у других партий тоже результаты заметно хуже), а на участках со скромными процентами за ЕР результаты "Яблока" сравнимы с результатами "Справедливой России" и ЛДПР. Причём, иногда такая разница в результатах наблюдается в соседних участках, располагающихся буквально в одной школе на разных этажах.

 

Разумеется, Москва — город социально неоднородный (см. например, карту уровня доходов москвичей). С одной стороны, в Москве всё еще не сформировались национальные или социальные гетто. В обычной многоэтажке спального района могут проживать квалифицированные высокооплачиваемые специалисты и неквалифицированные, представители малого бизнеса и работяги, пенсионеры и алкоголики, многодетные семьи и бездетные. Однако, в Москве есть ярко выраженные богатые районы — с большим количеством современных новостроек. Обитатели этих новостроек достаточно обеспеченные, приобретали квартиры за собственные (или кредитные) средства. Разумно предположить, что решающее влияние на выбор граждан влияет их социальное положение: обитатели элитных микрорайонов голосуют совсем не так, как жители убогих трущоб.

 

Чтобы проверить эту гипотезу, постараемся разделить множество московских УИК на однородные подмножества и посмотрим, как это разделение соответствует объективному разделению города на богатые и бедные районы.

 

Всего в Москве 3374 участков. Отбросим участки с маленьким количеством избирателей (меньше 600). Во-первых, если количество избирателей мало, ЦПТ работает значительно хуже. Во-вторых, так мы избавляемся от участков с "особой электоральной культурой". В-третьих, маленькие участки естественным образом дают пики на дробях с малыми знаменателями (подробнее, например, тут). Участков с малым количеством избирателей оказалось совсем немного — ровно 180. Что составляет чуть более 5% от общего числа участков и менее процента от числа избирателей. Какими бы ни были удивительными результаты этих участков, на общий итог они влияют не сильно.

 

Оставшиеся 3194 участка представим в виде точек в 3-мерном пространстве с координатами, равными проценту голосов за ЕР, "Яблоко" и проценту явки на участке. Затем разделим их на два кластера с помощью EM-алгоритма. Этот алгоритм специально разработан для разделения смесей нескольких нормальных распределений. В результате получается, что все УИК делятся на два подмножества, довольно сильно различающиеся по результатам выборов:

Из гистограмм видно, что в первой группе (слева) распределения голосов и явки — красивые "колокола", похожие на гауссово распределение. Во второй группе распределение явки — тоже красивый колокол (за исключением пика в районе 100%), а вот распределения процентов голосов, отданных партиям — у всех, кроме КПРФ и ЕР сильно сдвинуты к нулю (на многих участках за эти партии вообще не голосовали), у "Яблока" отчётливо прослеживается ещё один горб.

То есть, если верить официальным властям, что выборы были честными и справедливыми, 28% процентов участков какие-то особые, там проживают граждане, которые немного реже ходят на выборы, вдвое реже голосуют за партию власти и заметно чаще поддерживают все остальные партии. Возможно, это и есть те самые элитные районы. Посмотрим, как эти УИК распределены по районам Москвы. Оказывается, что таких участков больше всего (почти 100%) в районах Зеленограда. Более 80% в Свиблово, Митино, Марьиной Роще, Ростокино, Ярославском районе и Южном Тушине. 60-80% в районах Южное и Северное Медведково, Хорошово-Мневники, Алексеевский, Ново-Переделкино, Останкинский, Теплый стан, Бабушкинский, Ломоносовский и Гагаринский. В Черемушках, Бибирево, Сокольниках и Отрадном буквально зреет гражданская война: половина участков резко поддерживает партию власти, а в другой половине — оппозицию. Казалось бы, Свиблово и Отрадное — спальные районы, находящиеся поблизости, однако в одном районе почти все участки "оппозиционные", а в другом fifty-fifty.

 

А вот что может быть общего у элитного района Куркино и нищебродской Капотни? У центрального Арбата и замкадского Косино-Ухтомского? У "мажорного" Крылатского трущоб Метрогородка? Оказывается, во всех этих районах нет вообще ни одного УИК с "оппозиционными" результатами. По карте распределения доходов легко видно, что результаты выборов с социальным положением по-видимому вообще не связаны. То есть получается, что результаты голосования практически не зависят ни от влияния партий (которое по всей Москве одинаковое), ни от условий, которые создаёт в городе местные и федеральные власти, ни от обеспеченности или классового положения москвичей. Точнее, наверняка всё это влияет, но есть некий фактор, который настолько силён, что с лихвой перекрывает влияние всех остальных.

 

Я материалист, в мистику и волшебство Чурова не верю. В то же время сколько ни опрашивал знакомых, даже аполитичных, все за редчайшим исключением уверяли, что голосовали за другие партии. И тогда мне пришло в голову единственное материалистическое объяснение столь странных результатов. Во всём виноваты... правильно, внеземные цивилизации! Они уже оккупировали почти две трети города, ходят среди нас, маскируются, и голосуют (нам назло) за жуликов и врунов. А если серьёзно, то если партии по всей Москве одинаковые, социальное положение влияет слабо, то получается, что сильнее всего на результаты влияют избирательные комиссии. Так получилось в этом году, что УИК оборудованные устройством автоматического считывания бюллетеней (КОИБ), в основном попали в "оппозиционную" группу. То же самое можно сказать и об участках, на которых были оппозиционные наблюдатели, и которых не выгнали члены УИК под каким-либо предлогом. Конечно, обмануть можно и внимательных наблюдателей, и электронику (например, с помощью "каруселей"), но такие вбросы относительно невелики, и их статистические свойства, возможно, близки к свойствам нормального распределения. То есть, статистическими методами их даже не заподозришь.

 

Конечно, можно предположить, что на самом деле структура Москвы несколько сложнее, и УИК делятся не на две, а на большее количество подмножеств. А с такой повышенной детализацией Куркино и Метрогородок уже будут сильно отличаться. Разобьём тем же алгоритмом крупные московские УИК не на 2, а на 3 кластера:

Распределение явки в разных подмножествах:

Как видно, во второй группе распределение явки всё еще похоже на нормальное, только немного шире и сдвинуто вправо. То есть, во второй группе в основном вбрасывали голоса за ПжиВ (если на участке с явкой 50% у партий ЕР и КПРФ было по 25% голосов, но фальсификаторы вбросили 13% бюллетеней за ЕР, то результаты будут составлять соответственно 40% и 20%), в меньшей степени перераспределяли, подгоняя результат поближе к "нужному". В третьей же группе, видимо, голоса никто даже не считал, а результаты рисовались от балды, т. к. там ни у явки, ни у голосов за партии нет ничего похожего на нормальное распределение. Что же касается распределения участков 2 и 3 типа по районам, то оказывается, что в Куркино и в Метрогородке, Арбате и Бирюлёво примерно одинаковые доли участков 3-го типа.

 

Какие из этого можно сделать выводы? Конечно, москвичи, проживающие в разных районах, имеющие разный уровень достатка и социальное положение, имеют различные политические предпочтения, и голосуют по-разному. Однако этот фактор — политические предпочтения граждан — оказывается совершенно несущественным, не оказывающим заметного влияния на результат голосования. Гораздо сильнее на результат влияет честность (или, если хотите, наглость) членов избирательных комиссий. Конечно, статистические расчёты и моделирование не могут являться доказательством обмана, никакой суд не примет их на рассмотрение (и будет, пожалуй, прав). Но в сочетании с реальными уликами, отчётами оппозиционных наблюдателей, расхождениями в протоколах избирательных комиссий, позволяет находить наиболее подозрительные места, в которых партийные жулики, вруны и их беспартийные помощники действовали наиболее нагло и бесцеремонно. Вполне возможно, что во второй группе московских УИКов при пересчёте голосов обнаружить большие подтасовки будет непросто, то в третьей группе они будут налицо.

 

Приложение 1. Московские районы в порядке увеличения доли "оппозиционных" УИК

Приложение 2. Номера УИК из третьей, самой "ненормальной" группы

5 7 16 19 21 23 45 51 58 59 61 66 82 85 89 90 95 109 110 111 121 123 143 154 155 156 157 159 163 165 171 172 174 176 177 180 181 184 185 186 191 196 211 213 215 224 225 231 235 236 249 261 262 272 274 275 276 277 278 280 281 282 285 289 291 292 293 294 306 309 311 312 321 326 327 330 338 339 356 358 376 377 378 385 386 396 403 424 450 451 452 461 462 463 469 471 476 477 478 482 484 486 489 490 491 496 499 507 513 514 515 516 517 518 521 546 562 566 567 568 570 571 577 579 580 581 582 584 586 587 589 591 593 598 602 606 608 609 615 617 618 629 633 634 635 636 639 640 644 645 646 648 649 650 653 654 656 657 658 683 687 688 702 704 710 711 714 720 722 724 725 726 727 731 734 736 737 738 740 745 866 872 893 941 950 984 986 987 988 996 1036 1037 1049 1068 1075 1077 1078 1079 1081 1093 1111 1114 1115 1116 1123 1129 1132 1146 1150 1153 1156 1165 1166 1184 1192 1231 1256 1301 1337 1418 1424 1426 1510 1540 1674 1681 1682 1730 1731 1747 1761 1762 1792 1793 1796 1797 1798 1799 1821 1826 1830 1833 1834 1837 1838 1844 1846 1855 1861 1870 1871 1875 1876 1877 1882 1883 1885 1889 1890 1896 1899 1901 1902 1904 1907 1920 1929 1937 1938 1939 1950 1955 1957 1959 1963 1968 1972 1974 1976 1987 1992 1994 1996 1999 2013 2014 2019 2023 2024 2025 2028 2030 2036 2052 2056 2061 2065 2068 2070 2076 2081 2088 2095 2097 2099 2110 2113 2121 2123 2124 2133 2151 2173 2181 2189 2211 2221 2222 2228 2231 2233 2235 2236 2249 2252 2253 2272 2273 2277 2278 2279 2295 2299 2320 2324 2331 2332 2333 2335 2336 2340 2356 2362 2363 2365 2366 2385 2413 2421 2430 2438 2457 2462 2471 2472 2482 2485 2486 2489 2491 2492 2494 2495 2496 2530 2533 2537 2550 2551 2552 2554 2558 2561 2562 2574 2610 2617 2637 2638 2640 2641 2648 2651 2661 2663 2668 2669 2674 2676 2678 2685 2686 2687 2688 2690 2695 2708 2709 2717 2718 2719 2727 2729 2730 2741 2750 2761 2762 2767 2769 2773 2795 2796 2800 2802 2804 2805 2808 2810 2823 2824 2828 2830 2835 2840 2842 2846 2847 2848 2849 2853 2855 2856 2860 2862 2864 2865 2866 2867 2875 2877 2889 2899 2915 2916 2917 2921 2922 2923 2924 2926 2928 2929 2930 2933 2934 2935 2937 2938 2939 2941 2942 2943 2949 2950 2951 2952 2955 2956 2959 2961 2962 2963 2964 2969 2970 2971 2972 2973 2979 2980 2982 2986 2990 2991 2992 3029 3032 3044 3048 3055 3062 3070 3095 3096 3100 3118 3119 3129 3136 3138 3140 3143 3146 3147 3151 3154 3158 3159 3163 3164 3165 3166 3167 3185